مقدمة عامة للتحليل عددي 2

العديد من المسائل في الرياضيات الاستمرارية continuous mathematics لا تمتلك حل مغلق-الشكل closed-form solution (أي بمعنى آخر لا توجد طريقة أو قاعدة لإعطائنا الحل الدقيق أو الصحيح) . من أمثلة ذلك إيجاد تكامل التابع الأسي (x2) (انظر دالة الخطأ error function ) ، وحل معادلة كثير الحدود العامة من الدرجة الخامسة فما فوق (مبرهنة أبيل-روفيني). في هذه الحالات يتبقى لدينا خيارين : أولا محاولة إيجاد حل تقريبي باستخدام تحليل لا asymptotic analysis أو يمكن البحث عن حل عددي numerical solution. عملية إيجاد الحل العددي هي مجال بحث التحليل العددي.


[عدل] التقطيع
في حالات أخرى ، المسائل التي تتصف بالاستمرارية قد تحتاج إلى استبدالها بمسائل رياضية متقطعة معروفة الحلول سلفا ، هذه العملية تدعى "التقطيع" discretization . فمثلا ، حل معادلة تفاضلية هو دالة رياضية ، ينبغي تمثيلها بمقدار محدود من البيانات ، مثلا عن طريق قيمة الدالة عند نقاط مختلفة من منطلق الدالة (نطاق الدالة domain) ، مع أن النطاق هو عبارة عن مجال مستمر continuum .


[عدل] تولد و انتشار الأخطاء
دراسة شكل الأخطاء يشكل جزءا مهما جدا من التحليل العددي . هناك عدة طرق يمكن من خلالها أن يدخل الخطأ إلى حل مسألة رياضية . فأخطاء التقريب Round-off error تنشأ من استحالة تمثيل الأعداد الحقيقية بشكل دقيق في آلات محدودة الحالات finite-state machine (مثل جميع الحواسيب الرقمية المستخدمة) . أخطاء البتر Truncation تحدث عندما يتم إنهاء طريقة تكرارية و يكون الحل التقريبي ما زال بعيدا عن الحل الدقيق للمسألة . أيضا عملية التقطيع discretization تحدث أخطاء تقطيع غالبا لأن حلول المسائل المقطعة لا تتوافق في الغالب مع حلول المسائل الاستمرارية .

حالما يتم تولد خطأ ما ، سيتم انتشار هذا الخطأ من خلال الحسابات المتتالية . و هذا يقود إلى مصطلح الثباتية العددية numerical stability : تكون خوارزمية ثابتة عدديا إذا كان الخطأ لا يتضخم خلال الحسابات بعد ارتكابه مباشرة . طبعا هذا لا يكون ممكنا إلا إذا كانت المسألة جيدة الشروط well-conditioned ، أي أن الحل يتغير بمقدار ضئيل إذا تغيرت معطيات المسألة بمقدار ضئيل . في الحالة المعاكسة و ندعوها مسألة سيئة الشروط ill-conditioned : يتم تضخم الخطأ في المعطيات بشكل كبير ضمن حسابات الحل .

بجميع الأحوال ، يمكن ان تكون الخوارزمية التي تحل مسألة جيدة الشروط ثابتة عدديا أو غير ثابتة عدديا فالموضوع لا يتعلق فقط بطبيعة المسألة بل بطريقة حلها بالتالي تكون مهمة التحليل العددي أيضا إيجاد خوارزميات مستقرة لحل المسائل الرياضية الجيدة الشروط إضافة لإيجاد خوارزميات مستقرة لحل المسائل السيئة الشروط .